Matematyczne przewidywanie przyszłości
WYDZIAŁ MATEMATYKI I INFORMATYKI
Od blisko dwudziestu lat naukowcy z Katedry Matematyki Obliczeniowej Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Jagiellońskiego realizują zakrojony na szeroką skalę projekt badawczy poświęcony ścisłej analizie numerycznej układów dynamicznych. Ich zaawansowane badania matematyczne związane są między innymi z… prognozowaniem przyszłości.
Nie jest łatwo wyjaśnić istotę i pożytki płynące z tych badań bez wgłębiania się w matematykę oraz korzystania z jej specyficznego języka. Podejmując jednak taką próbę, warto odwołać się do naukowego tła historycznego.
Moc równań różniczkowych
Od zawsze ludzie pragnęli przewidywać przyszłość i móc na nią wpływać. Gdy Izaak Newton w drugiej połowie XVII wieku opublikował swe słynne trzy prawa dynamiki, prognozowanie przyszłych losów śmiałym krokiem wkroczyło na grunt badań naukowych. Stało się tak za sprawą odkrytego przez Newtona i Leibniza rachunku różniczkowego i całkowego, który pozwolił zapisywać w postaci równań różniczkowych prawa i procesy fizyczne.
W przeciwieństwie do znanych ze szkoły równań algebraicznych, rozwiązaniem równania różniczkowego nie jest liczba, a funkcja opisująca przebieg procesu fizycznego w czasie. Na dodatek rozwiązań jest nieskończenie wiele. By wybrać jedno konkretne rozwiązanie, zadaje się wartość funkcji w konkretnej chwili. W przypadku prognoz, wyboru potrzebnej funkcji dokonuje się poprzez ustalony na podstawie pomiarów stan procesu w aktualnym momencie. Wyliczenie wartości funkcji dla przyszłych momentów daje oczekiwaną prognozę. Gdy zmienimy stosowne parametry procesu, a więc i współczynniki równania, możemy nim sterować, uzyskując z góry zamierzony cel w przyszłości. Metoda ta stoi za całą rewolucją naukowo-techniczną XVIII i XIX wieku.
Niestety, większości równań różniczkowych nie da się rozwiązać w sposób dokładny, więc zwyczajowo stosuje się metody przybliżone, tzw. numeryczne. Są one obarczone różnego rodzaju błędami, w szczególności wadami związanymi z koniecznością zaokrągleń przy obliczeniach. W konsekwencji nie ma pewności, że rozwiązanie jest akceptowalne, co na ogół sprawdza się doświadczalnie, w razie potrzeby zwiększając dokładność obliczeń.
Czasami jednak przeprowadzenie eksperymentu może okazać się kosztowne i nie dać żadnych rezultatów – pierwszy lot rakiety Ariane 5 w 1996 roku zakończył się katastrofą właśnie na skutek błędów w obliczeniach numerycznych. Utracono wówczas cztery satelity, które Ariane miała wynieść na orbitę. Łączne straty wyniosły siedemdziesiąt milionów dolarów. Był to najdroższy w historii przypadek awarii na skutek błędów numerycznych, który na wiele lat osłabił zaufanie do europejskiego programu kosmicznego.
Na skutek błędów w obliczeniach numerycznych pierwszy lot rakiety Ariane 5
w 1996 roku zakończył się katastrofą. Był to najdroższy w historii przypadek
awarii na skutek błędów numerycznych, fot.: © Amskad | Dreamstime.com
Skutki problemów w prognozowaniu pogody
Korygowanie rozwiązania poprzez przeprowadzenie dokładniejszych obliczeń opiera się na założeniu, że niewielka różnica w danych początkowych skutkuje znikomą różnicą pomiędzy rozwiązaniami. Badania równań różniczkowych związanych z prognozami pogody zaburzyły ten prosty obraz.
Od strony teoretycznej metoda wypracowana przez Newtona idealnie nadaje się do przewidywania pogody. Ponieważ dysponujemy równaniami różniczkowymi opisującymi stan atmosfery, wystarczy je rozwiązać, by otrzymać prognozę. Podejście to, zakończone zresztą sromotną porażką, wypróbował po raz pierwszy w 1922 roku angielski uczony Lewis Fry Richardson. Niepowodzenie tłumaczył niedokładnością obliczeń.
Wraz z pojawieniem się pierwszych komputerów odżyły nadzieje na udane prognozy pogody w oparciu o metody numeryczne. Sukces był połowiczny: prognozy były trafne, ale tylko te krótkookresowe. Edward Lorenz, amerykański matematyk i meteorolog, w latach 60. XX wieku zasugerował, że mogą istnieć równania różniczkowe z wrażliwą zależnością rozwiązań od warunków początkowych, określaną dziś krótko mianem chaosu. W takich równaniach nawet mikroskopijne zmiany warunków początkowych prowadzą do olbrzymich różnic w rozwiązaniach.
Dla równań różniczkowych, w których występuje zjawisko chaosu, analiza numeryczna jest znacząco utrudniona, a w przypadku długich przedziałów czasowych wręcz niewykonalna. Co gorsze, z natury rzeczy klasycznymi metodami numerycznymi nie da się stwierdzić, czy chaos w równaniu występuje. Uświadomienie sobie tego faktu zapoczątkowało poszukiwanie metod alternatywnych.
Narzędzie pozwalające ściśle szacować zaokrąglenia w obliczeniach numerycznych, tzw. arytmetyka przedziałowa, zostało opracowane w połowie XX wieku przez polskiego matematyka Mieczysława Warmusa i równolegle przez Amerykanina Ramona E. Moore'a. Istotą arytmetyki przedziałowej jest prowadzenie obliczeń na przedziałach postaci [a, b], tak by dokładny, choć nieznany, wynik znajdował się na pewno wewnątrz policzonego przedziału. Niestety – wielkość tego przedziału rośnie wraz z liczbą przeprowadzonych obliczeń, a tym samym praktyczna wartość oszacowania maleje. Arytmetyka przedziałowa sama w sobie nie pozwala też rozstrzygnąć o tym, czy mamy do czynienia ze zjawiskiem chaosu w równaniu różniczkowym. Okazuje się jednak, że jej powiązanie z topologią taki werdykt umożliwia.
Gdy kubek i obwarzanek są nie do odróżnienia
Topologia jako oddzielna gałąź matematyki pojawiła się na początku XX wieku w badaniach francuskiego matematyka Henriego Poincarégo nad stabilnością równań różniczkowych opisujących dynamikę naszego układu planetarnego. Ta samodzielna obecnie dziedzina badań matematycznych zajmuje się tymi własnościami przestrzeni (np. figur geometrycznych), które nie ulegają zmianie przy przekształceniach deformujących przestrzeń, np. przez jej rozciąganie lub zgniatanie (ale bez jej rozrywania i sklejania). Do takich właściwości należy liczba dziur w przestrzeni. Dla topologii kubek z uchem i krakowski obwarzanek są nieodróżnialne. Kubek bez sklejania i rozrywania daje się bowiem przekształcić w obwarzanek. W procesie tym otwór w uchu kubka przechodzi w lukę w obwarzanku. Oba te przedmioty są topologicznie odróżnialne od szklanej kuli, która pozbawiona jest dziur.
Do metod topologicznych nawiązali w połowie lat 90. Konstatntin Mischaikow i Marian Mrozek. Zademonstrowali oni nową metodę, która w sposób praktyczny udokumentowała występowanie chaosu w konkretnym równaniu różniczkowym. Encyclopaedia Britannica uznała rezultat ich prac za jedno z czterech największych osiągnięć matematyki w 1995 roku. Pokazał on z jednej strony, że ścisła analiza numeryczna chaotycznych równań różniczkowych jest możliwa, z drugiej – postawił szereg pytań o jej efektywne wykonanie. Oryginalny dowód chaosu w równaniach Lorenza wymagał bowiem przeprowadzenia aż osiemdziesięciogodzinnych obliczeń.
Wizualizacja równania różniczkowego odkrytego przez Lorenza.
Demonstruje wrażliwą zależność rozwiązań od warunków początkowych,
tak zwany deterministyczny chaos
Kolejne zadania
W ten sposób w Katedrze Matematyki Obliczeniowej rozpoczęty został też i realizowany jest do dziś wielowymiarowy projekt, którego celem jest ścisła oraz zautomatyzowana analiza numeryczna szerokiej klasy równań różniczkowych. „Nasze prace obejmują między innymi: rozwijanie metod teoretycznych umożliwiających szczegółowe badanie rozwiązań równań różcznikowych w oparciu o ścisłe metody numeryczne, narzędzia topologiczne i analityczne, ale także opracowywanie efektywnych algorytmów przedziałowych dla równań różniczkowych, algorytmów wyznaczania niezmienników topologicznych oraz algorytmów umożliwiających automatyczną i ścisłą analizę numeryczną równań różniczkowych" – wyjaśnia prof. Marian Mrozek, koordynujący badania realizowane na UJ.
W ramach realizacji głównego przedsięwzięcia – w dość zaskakujący sposób – pojawił się ważny projekt równoległy. Okazało się bowiem, że w ostatnich dziesięciu latach gwałtownie wzrosła liczba zastosowań topologii poza matematyką. Używa się jej w rozpoznawaniu obrazów, klasyfikacji tekstów, analizie danych eksperymentalnych, robotyce i sieciach sensorowych. „Nasze doświadczenia w zakresie algorytmów topologicznych okazały się bardzo przydatne. Znajdują one teraz zastosowanie również poza pierwotnym przeznaczeniem ukierunkowanym na analizę numeryczną równań różniczkowych" – informuje prof. Mrozek.
Dotychczas naukowcom udało się wypracować liczącą ponad sześćdziesiąt tysięcy linii kodu bibliotekę CAPD, używaną do ścisłej analizy numerycznej równań różniczkowych, oraz podbibliotekę CAPD::REDHOM, która obejmuje implementacje algorytmów topologicznych. Biblioteka ta zawiera programy komputerowe umożliwiające praktyczne stosowanie opisanych metod. Jest z powodzeniem stosowana przez wielu badaczy w Polsce i na całym świecie.
Drugi ważny front badań to próbkowane układy dynamiczne. „Topologiczna metoda analizy równań różniczkowych może być zaadaptowana do analizy procesów, dla których nie mamy gotowego równania różniczkowego. Jednakże weryfikacja takiego badania opierać się musi na innym niż arytmetyka przedziałowa narzędziu. Planujemy w tym celu użyć metody tzw. homologii persystentnych. Jeśli się to powiedzie, będziemy dysponować bardzo mocnym instrumentem do automatycznej analizy szerokiej klasy procesów dynamicznych – od równań różniczkowych, poprzez iterowane odwzorowania, po szeregi czasowe i parametryzowane układy dynamiczne" – podsumowuje prof. Mrozek.